Het is vandaag π-dag. Bijzonder dat er zoveel aandacht aan een getal wordt besteed –alleen 0 en misschien 13 komen daarbij in de buurt–, al vinden sommigen de keus voor 14 maart getuigen van Amerikaans cultureel imperialisme. Zij schrijven deze datum immers als 3/14, waardoor het verband met π duidelijk is, maar Europeanen die 14/3 schrijven voelen dat minder. Daar valt tegenin te brengen dat de cijfers in de notatie maand/dag van meer naar minder significant gaan, net als de cijfers in decimale notatie. En je kunt dus ook verder gaan met uren, minuten, enz., wat sommige fanatieke π-vierders ook doen.
Misschien is het allemaal flauwekul, maar het was voor mij aanleiding wat gedachten aan dit getal te wijden en kwam tot twee leuke observaties. Ongetwijfeld zijn ze vaker gedaan, maar voor mij zijn ze nieuw en voor u misschien ook.
Oppervlakte en omtrek
De oppervlakte van een cirkel is πr^2 en de omtrek is 2πr. In beide formules zit π. Dat is natuurlijk geen toeval, maar kunnen we dat ook begrijpen? Het antwoord is ja. Uit de formule voor de omtrek kun je makkelijk die voor de oppervlakte halen, en andersom.
Stel dat je weet dat de oppervlakte 2πr is. Om de oppervlakte van de cirkel uit te rekenen, snijden we die als een taart (pie, nietwaar) in een heleboel punten. Die punten hebben twee rechte en een ronde kant. Maar naarmate je meer punten hebt, en de punten dus smaller zijn, gaan ze steeds meer op een driehoek lijken. Wat is de oppervlakte van een driehoek? Dat is basis maal halve hoogte. Als we voor de basis de zijde aan de cirkelkant nemen, dan is de hoogte vrijwel de straal van de cirkel (voor smalle driehoekjes). De basisjes van die driehoekjes liggen langs de rand van de cirkel en als je oneindig veel driehoekjes hebt, zijn ze samen precies gelijk aan de omtrek van de cirkel. De oppervlakte van de cirkel is de opprvlakte van al die driehoekjes bij elkaar en is dus basisjes maal halve hoogte. En dat is 2πr · 1/2 r = πr^2.
22/7
Een heel oude en behoorlijk nauwkeurige benadering van π is 22/7. Wij rekenden daarmee op de lagere school, maar de rekenmachine met haar decimale kijk op de wereld heeft 3.14 hoger opgestuwd in de vaart der volkeren. Waarom is π ongeveer 22/7? Daarvoor kun je naar de decimaalontwikkelingen van de twee getallen kijken, maar dat is flauw. Aan de cirkel zelf kun je het ook zien.
Teken een cirkel op ruitjespapier, met het middelpunt op een roosterpunt en met een straal van 7 hokjes. Dan proberen we de omtrek van de cirkel zo goed mogelijk te volgen met rechte lijnstukken die van roosterpunt naar roosterpunt gaan. Je ziet dat er een aantal roosterpunten zijn die mooi dichtbij de cirkel liggen, zodat we een goede benadering van de omtrek krijgen. Zie plaatje.
Ik heb alleen een kwartcirkel gevolgd omdat de rest hetzelfde is (als je goed kijkt, zie je dat een achtste ook al genoeg zou zijn). De lengte van de lijstukjes is met Pythagoras berekend. Bij elkaar zijn ze:
1 + √10 + 2√2 + √10 + 1 = 2 (1 + √10 + √2) ≈ 2(1 + 3.1 + 1.4) = 11
We benaderen de wortels met getallen die er iets onder liggen omdat (a) de lijstukjes grotendeels buiten de cirkel liggen en (b) dat mooi uitkomt.
De officiële lengte van een kwartcirkel is 1/2 πr, voor deze cirkel dus 7/2 π.
Die lengte hebben we benaderd met 11, dus moet gelden:
7/2 π ≈ 11 ofwel π ≈ 22/7.
2 opmerkingen:
Oppervlakte en omtrek: ja, dat is een leuk verband. Iets dergelijks geldt ook voor de bol en dan met inhoud en oppervlakte (als je de oppervlakte, zijnde 4πr^2, integreert, dan krijg je 4/3πr^3 en dat is idd de inhoud. Dat heeft geloof ik te maken met het feit dat een cirkel bij een gegeven omtrek de figuur met de grootste oppervlakte is en analoog voor de bol (maar dan met oppervlakte en inhoud).
leuke post, jongeman. Moet je vaker doen.
Een reactie posten